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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 364 — #370
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364 5. Teoremas l ´ ımite

formas en las que se decida medir la cercan´ıa de la sucesi´on con el l´ımite a
trav´es de la medida de probabilidad.

Convergencia puntual

Para cada ω fijo, la sucesi´on X 1 pωq,X 2 pωq,... es una sucesi´on de n´umeros
reales, por lo tanto podemos definir la convergencia de las variables aleato-
rias cuando esta sucesi´on num´erica es convergente para cada ω fijo. En este
caso, la variable aleatoria l´ımite se define de forma puntual:

Xpωq :“ l´ım X n pωq.
nÑ8

A este tipo de convergencia se le llama convergencia puntual yse escribe

X n Ñ X, para cada ω P Ω.

Convergencia casi segura (o fuerte)

Un tipo de convergencia menos estricta que la anterior ocurre cuando se
permite que la convergencia puntual se observe sobre un conjunto de pro-
babilidad uno, es decir, se dice que la sucesi´on X 1 ,X 2 ,... converge casi
seguramente, o casi dondequiera, a la variable X si para casi toda ω, X n pωq
converge a Xpωq, en s´ımbolos,

Ppω P Ω : X n pωqÑ Xpωqq “ 1,

yseescribe
c.s.
X n Ñ X.

De este modo se permite que exista un subconjunto de Ω en donde no se
verifique la convergencia, pero tal subconjunto debe tener medida de proba-
bilidad cero. A este tipo de convergencia tambi´en se le llama convergencia
fuerte. Es claro que si una sucesi´on de variables aleatorias es convergente
puntualmente, entonces es tambi´en convergente en el sentido casi seguro. El
rec´ıproco es falso.

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