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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 368 — #374
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368 5. Teoremas l ´ ımite

formalizar por primera vez el enunciado del teorema y dar una demostraci´on
rigurosa para el caso de variables aleatorias con distribuci´on Bernoulli. De-
bido a este gran ´exito en la carrera de Jacobo Bernoulli, a este resultado se
le conoce tambi´en como teorema de Bernoulli. Sin embargo, fue Simone D.
Poisson quien us´o y populariz´o el t´ermino ley de los grandes n´umeros. Otros
matem´aticos han contribuido notablemente a la generalizaci´on y extensi´on
del teorema de Bernoulli, entre ellos est´an Chebyshev, Markov, Borel, Can-
telli, Kolmogorov y Khinchin.

Teorema 5.1 (Ley de los grandes n´umeros) Sea X 1 ,X 2 ,... una
sucesi´on infinita de variables aleatorias independientes e id´enticamente
distribuidas con media finita µ. Entonces, cuando n Ñ8,
n
1 ÿ
X i ÝÑ µ.
n
i“1
en donde la convergencia se verifica en el sentido casi seguro (ley fuerte)
y tambi´en en probabilidad (ley d´ebil).

Demostraci´on. (Ley d´ebil, es decir, convergencia en probabilidad, supo-
niendo segundo momento finito). Recordemos que la desigualdadde Chebys-
2
hev para una variable aleatoria X con media µ y varianza σ establece que
para cualquier ϵ ą 0,
σ 2
Pp|X ´ µ| ą ϵq ď .
ϵ 2
Aplicando este resultado a la variable aleatoria S n “pX 1 `¨ ¨ ¨` X n q{n,
2
cuya esperanza es µ y varianza es σ {n, tenemos que para cualquier ϵ ą 0,
σ 2
Pp|S n ´ µ| ą ϵ q ď .
nϵ 2
De modo que, al hacer n Ñ8, se obtiene que

Pp|S n ´ µ| ą ϵ qÑ 0,

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