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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 369 — #375
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5.3 La ley de los grandes n´ umeros 369

lo cual significa que
n
1 ÿ p
X i Ñ µ.
n
i“1
‚
As´ı, sin importar la distribuci´on de las variables aleatorias, el promedio
aritm´etico converge a la media µ conforme n tiende a infinito. Como se ha
mencionado, ´unicamente se ha presentado la demostraci´on en el caso cuan-
do la convergencia es en probabilidad y suponiendo adicionalmente que el
segundo momento existe. Demostraciones m´as generales de este resultado
pueden encontrarse, por ejemplo, en el texto de Gut [9].

La siguiente demostraci´on alternativa de la ley d´ebil (convergencia en proba-
bilidad) es tambi´en bastante directa, aunque tiene la desventaja de suponer
la existencia de la funci´on generadora de momentos. Tal hip´otesis adicional
garantizar´a adem´as la convergencia en distribuci´on de los promedios par-
ciales.

Demostraci´on. Sea nuevamente S n “pX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q{n y sea M X ptq la
f.g.m. de cualquiera de las variables X i . Haremos uso de la expansi´on (2.28)
de la p´agina 205 y de la notaci´on o-peque˜na, que puede consultarse en el
ap´endice en la p´agina 397. La funci´on generadora de momentos de la variable
S n es

ptq“ Epe tS n q
M S n
t pX 1 `¨¨¨`X nq
“ Epe n q
t n
“pM X p qq
n
t t n
“p1 ` EpXq` op qq
n n
t n t
“p1 ` EpXqq ` op q,
n n

en donde se ha escrito la n-´esima potencia de un trinomio en dos sumandos:
t
uno en donde el primer t´ermino tiene exponente n y el segundo t´ermino op q
n
desaparece pues tiene exponente cero, el segundo sumando tiene potencias

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