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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 370 — #376
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370 5. Teoremas l ´ ımite

t
positivas de op q y todos estos t´erminos se agrupan en una misma expresi´on
n
t
escrita como op q. Por lo tanto,
n
ptq“ e tEpXq ,
l´ım M S n
nÑ8
en donde esta ´ultima expresi´on corresponde a la f.g.m. de la variable alea-
toria constante igual a EpXq. Por la Proposici´on 2.1 de la p´agina 208 sobre
la continuidad de las funciones generadoras de momentos, tenemos que

d
S n Ñ EpXq.
En el Ejercicio 520 se pide comprobar que la convergencia en distribuci´on a
una constante es equivalente a la convergencia en probabilidad a la misma
constante. Por lo tanto, tambi´en tenemos que
p
S n Ñ EpXq.

‚
Se ver´an ahora algunos ejemplos de aplicaci´on de este resultado.
Ejemplo 5.1 (Probabilidad frecuentista) Consideremos un experimen-
to aleatorio cualquiera y sea A un evento con probabilidad desconocida p.
Nos interesa encontrar este valor de p. Suponga que se efect´uan varias rea-
lizaciones sucesivas e independientes del experimento y se observa, en cada
ensayo, la ocurrencia o no ocurrencia del evento A. Para cada entero i ě 1
defina la variable aleatoria

#
1si ocurre el evento A en el i-´esimo ensayo,
X i “
0si no ocurre el evento A en el i-´esimo ensayo.
Entonces las variables X 1 ,X 2 ,... son independientes, cada una con distri-
buci´on Berppq, en donde p es la probabilidad del evento A. Por lo tanto,
EpX i q“ p y VarpX i q“ pp1 ´ pq. La ley de los grandes n´umeros asegura
que la fracci´on de ensayos en los que se observa el evento A converge a la
constante desconocida p cuando el n´umero de ensayos crece a infinito, es
decir,

n
n A 1 ÿ
“ X i Ñ p.
n n
i“1

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