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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 363 — #369
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5.2 Convergencia de variables aleatorias 363

1
a) Φpxq ě 1 ´ .
2x 2
1
b) Φp´xq ď .
2x 2
517. Use la distribuci´on exponencial y la desigualdad de Chebyshev para
demostrar que para cualquier n´umero real x ě 1,

1
e ´px`1q ď .
x 2

518. Sea X una variable aleatoria con funci´on de densidad

fpxq“ p1{2q e ´|x| , ´8 ă x ă 8.

2
Sea µ su media y σ su varianza. Calculando la probabilidad Pp|X ´
2
2
µ| ě xq y la cota superior de Chebyshev dada por σ {x ,demuestre
que para cualquier x ą 0,
2
e ´x ď .
x 2

5.2. Convergencia de variables aleatorias

Sabemos que una sucesi´on num´erica x 1 ,x 2 ,... es convergente a un n´umero
x si para cualquier ϵ ą 0 existe un n´umero natural N a partir del cual los
elementos de la sucesi´on se encuentran cercanos al n´umero x, es decir, para
n ě N,
|x n ´ x| ă ϵ.

Si en lugar de la sucesi´on num´erica tenemos una sucesi´on de variables alea-
torias, ¿c´omo se puede definir el concepto de convergencia en este caso?
Veremos a continuaci´on que puede responderse a esta pregunta de varias
maneras. Consideremos entonces que tenemos una sucesi´on infinita de va-
riables aleatorias X 1 ,X 2 ,... y un espacio de probabilidad en donde todas
estas variables aleatorias est´an definidas. La variedad de formas en las que
puede definirse la convergencia de variables aleatorias estar´a dada por las

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