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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 355 — #361
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4.10 Coeficiente de correlaci´ on 355

502. Sea pX, Y q un vector aleatorio continuo con distribuci´on normal de
2
2
par´ametros pµ 1 , σ ,µ 2 , σ , ρq. Esta distribuci´on se defini´o en el Ejer-
1
2
cicio 463, en la p´agina 321. Demuestre que
a) EpX, Y q“pµ 1 ,µ 2 q.

b)CovpX, Y q“ ρσ 1 σ 2 .

ˆ 2 ˙
σ 1 ρσ 1 σ 2
c) VarpX, Y q“ 2 .
ρσ 1 σ 2 σ 2

4.10. Coeficiente de correlaci´on

Habiendo definido la covarianza, podemos ahora dar la definici´on del coefi-
ciente de correlaci´on entre dos variables aleatorias. Supondremos que tales
variables aleatorias tienen esperanza y varianza finitas.

Definici´on 4.17 El coeficiente de correlaci´on entre las variables alea-
torias X y Y con varianzas finitas distintas de cero, se define como el
n´umero
CovpX, Y q
.
ρpX, Y q“ a
VarpXqVarpY q

Al n´umero ρpX, Y q se le denota tambi´en por ρ X,Y , en donde ρ es la letra
griega ro. El lector puede observar inmediatamente que la diferencia entre
la covarianza y el coeficiente de correlaci´on radica ´unicamente en que este
´ ultimo se obtiene al dividir la covarianza por el producto de las desviaciones
est´andares de las variables aleatorias. Puede demostrarse que este cambio de
escala tiene como consecuencia que el coeficiente de correlaci´on tome como
valor m´aximo 1, y como valor m´ınimo ´1, es decir, se tiene el siguiente
resultado.

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