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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 353 — #359
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4.9 Esperanza, varianza y covarianza 353

Definici´on 4.16 La varianza del vector aleatorio pX 1 ,... ,X n q es aque-
lla matriz cuadrada de nˆn, cuya entrada pi, jq est´a dada por el n´umero
CovpX i ,X j q,es decir,

VarpX 1 ,... ,X n q“pCovpX i ,X j qq i,j .

Es posible demostrar tambi´en que si X y Y son independientes, entonces
CovpX, Y q“ 0. El rec´ıproco es, en general, falso, es decir, el hecho de que
la covarianza sea cero no implica necesariamente que las variables aleatorias
en cuesti´on sean independientes. Por ´ultimo, recordemos que hemos men-
cionado que la varianza de la suma de dos variables aleatorias no es, en
general, la suma de las varianzas, sin embargo se cuenta con la siguiente
f´ormula general, la cual puede ser encontrada a partir de la definici´on de
varianza y se deja como ejercicio al lector.

VarpX ` Y q“ VarpXq` VarpY q` 2CovpX, Y q. (4.3)

A partir de los resultados que se ver´an en la siguiente secci´on, puede compro-
barse adem´as la siguiente relaci´on general entre la covarianza y la varianza.

a a
´ VarpXq VarpY q ď CovpX, Y q ď ` VarpXq VarpY q.

Ejercicios

499. Calcule la covarianza entre X y Y cuando estas variables tienen dis-
tribuci´on conjunta como se indica en cada inciso.

x z y 0 1
a) 0 1{4 1{4
1 1{4 1{4

#
3 m´ın tx, yu si 0 ă x, y ă 1,
b) fpx, yq“
0 en otro caso.

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