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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 348 — #354
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348 4. Vectores aleatorios

Definici´on 4.13 Sea pX, Y q un vector aleatorio continuo con funci´on
de densidad f X,Y px, yq ysea y un valor tal que f Y pyq‰ 0. La esperanza
condicional de X, dado Y “ y, es la esperanza de la funci´on de densidad
condicional f X|Y px | yq,cuando existe, es decir,

ż 8
EpX | Y “ yq“ xf X|Y px | yq dx.
´8

Integrando sobre la variable y y efectuando un cambio en el orden de las
integrales, es inmediato comprobar que

ż 8
EpXq“ EpX | Y “ yq f Y pyq dy,
´8

cuya expresi´on recuerda el teorema de probabilidad total, pero esta vez en
t´erminos de esperanzas. En el caso cuando el vector pX, Y q es discreto, la
definici´on es an´aloga.

ÿ
EpX | Y “ yq“ xf X|Y px | yq
x
ÿ
“ xPpX “ x | Y “ yq,
x
suponiendo nuevamente que f Y pyq‰ 0 y que la suma indicada es absoluta-
mente convergente. Nuevamente, sumando sobre todos los posibles valores
y y efectuando un cambio en el orden de las sumas se encuentra la expresi´on

ÿ
EpXq“ EpX | Y “ yq PpY “ yq.
y

En cualquier caso, observe adem´as que cuando X y Y son independientes,

EpX | Y “ yq“ EpXq.

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