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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 344 — #350
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344 4. Vectores aleatorios

De manera similar, para cada x Pp0, 1q fijo,

#
2px ` yq{p1 ` 2xq si 0 ă y ă 1,
f Y |X py | xq“
0 en otro caso.
‚

La f´ormula (4.2) puede extenderse, de manera an´aloga, al caso de vectores
de dimensi´on mayor. Por ejemplo, para un vector aleatorio de dimensi´on
tres pX, Y, Zq, pueden calcularse funciones de densidad condicionales co-
mo f X|Y,Z px | y, zq o f X,Z|Y px, z | yq. Veamos ahora la extensi´on al caso de
funciones de distribuci´on.

Definici´on 4.12 Sea pX, Y q un vector aleatorio con funci´on de proba-
bilidad o densidad f X,Y px, yq.Sea y un valor de Y tal que f Y pyq‰ 0.
La funci´on de distribuci´on condicional de X, dado Y “ y, es la funci´on

$ ÿ
f pu | yq en el caso discreto,
’ X|Y
’
uďx
&
x ÞÑ F X|Y px | yq“ ż x
’
f pu | yq du en el caso continuo.
’
% X|Y
´8
De esta forma, la funci´on de distribuci´on condicional se calcula como la suma
o integral de la correspondiente funci´on de probabilidad o densidad condicio-
nal. De acuerdo a esta definici´on, uno podr´ıa escribir a la funci´on F X|Y px | yq
como PpX ď x | Y “ yq, sin embargo tal expresi´on puede causar confu-
si´on pues al aplicar la definici´on de probabilidad condicional tendr´ıamos el
t´ermino PpY “ yq como denominador. Este t´ermino puede ser cero y por
lo tanto la probabilidad condicional indicada podr´ıa no estar definida. Pre-
feriremos entonces conservar las expresiones completas que aparecen en la
definici´on. Por otro lado, observamos nuevamente que cuando X y Y son
independientes,
F X|Y px | yq“ F X pxq.

Veremos a continuaci´on algunos ejemplos de la forma en la que son calcu-
ladas estas funciones de distribuci´on condicionales.

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