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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 342 — #348
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342 4. Vectores aleatorios

Definici´on 4.11 Sea pX, Y q un vector aleatorio discreto o continuo con
funci´on de probabilidad o de densidad f X,Y px, yq.Sea y un valor de la
variable Y tal que f Y pyq‰ 0. A la funci´on x ÞÑ f X|Y px | yq, definida a
continuaci´on, se le llama la funci´on de probabilidad o densidad condi-
cional de X dado que Y “ y.

f X,Y px, yq
f X|Y px | yq“ . (4.2)
f Y pyq

Observe que a la funci´on dada por (4.2) se le considera como una funci´on de
x y que el valor de y puede pensarse como un par´ametro de dicha funci´on,
es decir, para cada valor fijo de y se tiene una funci´on diferente. En el caso
discreto la expresi´on (4.2) es, efectivamente, la definici´on de probabilidad
condicional

PpX “ x, Y “ yq
f X|Y px | yq“ ,
PpY “ yq

sin embargo, recordemos que en el caso continuo las expresiones f X,Y px, yq
y f Y pyq no son necesariamente probabilidades.

Sumando o integrando sobre los posible valores x, es inmediato comprobar
que la funci´on dada por (4.2) es, efectivamente, una funci´on de probabilidad
o de densidad. Observe adem´as que cuando X y Y son independientes, para
cualquier valor de y se tiene que

f X|Y px | yq“ f X pxq.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 4.13 Sea pX, Y q un vector aleatorio discreto con funci´on de pro-
babilidad dada por la siguiente tabla.

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