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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 337 — #343
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4.6 Independencia de variables aleatorias 337

Es decir, X y Y tienen la misma distribuci´on. Se verifica entonces que
fpx, yq“ f X pxqf Y pyq para cualesquiera n´umeros reales x y y.Esto demues-
tra la independencia de las variables X y Y . ‚

Ejemplo 4.12 Sean X y Y dos variables aleatorias discretas con funci´on
de probabilidad fpx, yq dada por

#
1{4si x, y Pt0, 1u,
fpx, yq“
0 en otro caso.
Las funciones de probabilidad marginales son
# #
1{2si x Pt0, 1u, 1{2si y Pt0, 1u,
f X pxq“ y f Y pyq“
0 en otro caso, 0 en otro caso.
Por lo tanto, fpx, yq“ f X pxqf Y pyq para cualesquiera n´umeros reales x y y.
Se concluye entonces que X y Y son independientes. ‚
Adicionalmente tenemos la siguiente extensi´on del concepto de independen-
cia de variables aleatorias.

Definici´on 4.10 Se dice que un conjunto infinito de variables aleatorias
es independiente si cualquier subconjunto finito de ´el lo es.

Este es el sentido en el que debe entenderse que una sucesi´on infinita de
variables aleatorias sea independiente. Tal hip´otesis aparece, por ejemplo,
en el enunciado de la ley de los grandes n´umeros y el teorema central del
l´ımite que estudiaremos m´as adelante.

Ejercicios

476. Sean X y Y dos variables aleatorias discretas cuya funci´on de probabi-
lidad conjunta admite la factorizaci´on que aparece abajo para ciertas
funciones gpxq y hpyq.
PpX “ x, Y “ yq“ gpxq hpyq.

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