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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 338 — #344
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338 4. Vectores aleatorios

a)Exprese PpX “ xq y PpY “ yq en t´erminos de gpxq y hpyq.

b)Demuestre que X y Y son independientes.
ÿ ÿ
c)Demuestre que gpxq“ hpyq“ 1.
x y
477. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes con distribuci´on
geom´etrica de par´ametros p y q, respectivamente. Calcule

a) PpX “ Y q.
b) PpX ď Y q.

478. Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on infinita de variables aleatorias indepen-
dientes, cada una con la misma distribuci´on Berppq,e independientes
de otra variable aleatoria N con distribuci´on Poissonpλq.Demuestre
que
N
ÿ
S N :“ X i „ Poissonpλpq.
i“1
Cuando N “ 0, la suma es vac´ıa y se define como cero. Si N representa
el n´umero de delitos ocurridos, de los cuales s´olo la fracci´on p son
reportados a la autoridad, entonces S N representa el n´umero de delitos
reportados.

479. Suma de varianza no implica independencia. El siguiente ejem-
plo muestra que la condici´on VarpX ` Y q“ VarpXq` VarpY q no es
suficiente para concluir que X y Y son independientes. Sea pX, Y q
un vector aleatorio discreto con funci´on de probabilidad dada por
la tabla que aparece abajo. Compruebe que se cumple la igualdad
VarpX ` Y q“ VarpXq` VarpY q y que, sin embargo, X y Y no son
independientes.

x z y ´1 0 1

´1 1{8 0 1{8
0 0 1{2 0
1 1{8 0 1{8

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