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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 336 — #342
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336 4. Vectores aleatorios

Definici´on 4.8 Se dice que las variables aleatorias X 1 ,... ,X n son in-
dependientes si para cualesquiera n´umeros reales x 1 ,... ,x n se cumple
la igualdad
px n q.
Fpx 1 ,... ,x n q“ F X 1 px 1 q¨ ¨ ¨ F X n

Alternativamente, puede definirse la independencia en t´erminos de la fun-
ci´on de densidad, suponiendo su existencia, como sigue.

Definici´on 4.9 Se dice que las variables aleatorias X 1 ,... ,X n con fun-
ci´on de probabilidad conjunta fpx 1 ,... ,x n q son independientes si para
cualesquiera n´umeros reales x 1 ,... ,x n se cumple la igualdad

px n q.
fpx 1 ,... ,x n q“ f X 1 px 1 q¨ ¨ ¨ f X n

Puede demostrarse que las dos condiciones anteriores son equivalentes. En el
caso particular cuando las variables aleatorias son discretas, la condici´on de
independencia se escribe de la forma siguiente: para cualesquiera n´umeros
x 1 ,... ,x n ,

PpX 1 “ x 1 ,... ,X n “ x n q“ PpX 1 “ x 1 q¨ ¨ ¨ PpX n “ x n q.

Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 4.11 Sean X y Y dos variables aleatorias continuas con funci´on
de densidad conjunta dada por

# ´x´y
e si x, y ą 0,
fpx, yq“
0 en otro caso.

Pueden calcularse las funciones de densidad marginales y encontrar que

# #
e ´x si x ą 0, e ´y si y ą 0,
f X pxq“ y f Y pyq“
0 en otro caso, 0 en otro caso.

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