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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 352 — #358
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352 4. Vectores aleatorios

en donde la suma es doble, es decir, se suma sobre todos los posibles valores x
y tambi´en sobre todos los posibles valores y. En el caso cuando las variables
aleatorias son continuas se tiene que

8 8
ż ż
CovpX, Y q“ px ´ EpXqqpy ´ EpY qq fpx, yq dxdy.
´8 ´8
Desarrollando el producto que aparece en la definici´on de covarianza y apli-
cando la linealidad de la esperanza se encuentra que la covarianza puede
calcularse tambi´en como indica la siguiente f´ormula.

CovpX, Y q“ EpXY q´ EpXqEpY q.

Por otro lado, a partir de la definici´on misma de covarianza, o a partir
de la f´ormula reci´en enunciada, es inmediato observar que la covarianza es
sim´etrica, es decir,

CovpX, Y q“ CovpY, Xq.

Esto tiene como consecuencia que la matriz VarpX, Y q, que aparece en la
Definici´on 4.15, es sim´etrica. Otra propiedad interesante y f´acil de obtener
se encuentra cuando se calcula la covarianza entre una variable aleatoria X
y ella misma. En este caso la covarianza se reduce a la varianzade X,en
s´ımbolos,

CovpX, Xq“ VarpXq.

Por lo tanto, la definici´on de varianza del vector pX, Y q se puede tambi´en
escribir de la siguiente manera.

ˆ ˙
CovpX, Xq CovpX, Y q
VarpX, Y q“ .
CovpY, Xq CovpY, Y q
De esta expresi´on se desprende una forma natural de definir la varianza de
un vector de cualquier dimensi´on.

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