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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 351 — #357
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4.9 Esperanza, varianza y covarianza 351

Definici´on 4.14 La esperanza de un vector aleatorio pX, Y q, compues-
to por dos variables aleatorias con esperanzas finitas, es el vector de las
esperanzas, es decir,

EpX, Y q“pEpXq,EpY qq.

De esta manera, encontrar la esperanza de un vector aleatorio se reduce al
c´alculo de la esperanza de cada una de las variables del vector. Es claro que
esta definici´on puede extenderse, sin ninguna dificultad, para dimensiones
mayores. Se ver´a ahora la definici´on de varianza de un vector aleatorio de
dimensi´on dos.

Definici´on 4.15 La varianza de un vector aleatorio pX, Y q, compuesto
por dos variables aleatorias con varianzas finitas, es la matriz cuadrada

ˆ ˙
VarpXq CovpX, Y q
VarpX, Y q“ ,
CovpY, Xq VarpY q
en donde CovpX, Y q es la covarianza de X y Y y se define como sigue

CovpX, Y q“ ErpX ´ EpXqqpY ´ EpY qqs.

Como veremos m´as adelante, la covarianza est´a estrechamente relacionada
con otro concepto que se define para dos variables aleatorias, llamado coefi-
ciente de correlaci´on, para el cual se cuenta con una interpretaci´on bastante
clara. Dejaremos entonces la interpretaci´on de la covarianza en t´erminos del
coeficiente de correlaci´on.

Explicaremos ahora la forma de calcular la covarianza seg´un la definici´on
anterior. Cuando X y Y son variables aleatorias discretas, la covarianza se
calcula de la forma siguiente.

ÿ
CovpX, Y q“ px ´ EpXqqpy ´ EpY qq fpx, yq,
x, y

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