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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 354 — #360
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354 4. Vectores aleatorios

#
p3{2q m´ax tx, yu si 0 ă x, y ă 1,
c) fpx, yq“
0 en otro caso.
# ´x
e si 0 ă y ă x,
d) fpx, yq“
0 en otro caso.

# ´x´y
2 e si 0 ă x ă y,
e) fpx, yq“
0 en otro caso.
500. Propiedades de la covarianza. Demuestre con detalle las siguientes
propiedades de la covarianza.

a)CovpX, Y q“ EpXY q´ EpXqEpY q.
b)CovpX, Y q“ CovpY, Xq, (simetr´ıa).
c)CovpX, cq“ Covpc, Xq“ 0, c constante.
d)CovpcX, Y q“ CovpX, cY q“ c CovpX, Y q, c constante.
e)CovpX ` c, Y q“ CovpX, Y ` cq“ CovpX, Y q, c constante.
f )CovpX 1 ` X 2 ,Y q“ CovpX 1 ,Y q` CovpX 2 ,Y q,
Esta propiedad, junto con la anterior y la simetr´ıa, establecen
que la covarianza es una funci´on lineal en cada variable.

g) VarpX ` Y q“ VarpXq` VarpY q` 2CovpX, Y q.
h)Si X y Y son independientes entonces CovpX, Y q“ 0.
En consecuencia, cuando se cumple la hip´otesis de independen-
cia, se tiene que VarpX `Y q“ VarpXq`VarpY q. Es ´util observar
tambi´en que la propiedad enunciada proporciona un mecanismo
para comprobar que dos variables aleatorias no son independien-
tes pues, si sabemos que CovpX, Y q‰ 0, podemos entonces con-
cluir que X y Y no son independientes.
i) En general, CovpX, Y q“ 0 ùñ X, Y independientes.
{
501. Sean X y Y dos variables aleatorias con valores en el intervalo ra, bs.

2
a)Demuestre que |CovpX, Y q| ď pb ´ aq {4.
b) Encuentre dos variables aleatorias X y Y tales que

2
|CovpX, Y q| “ pb ´ aq {4.

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