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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 87

F(x)

1
3/4
2/4
1/4
x
1 2 3
Figura 2.9: Una funci´on de distribuci´on mixta.

ranza de X es entonces
'
∞
E(X)= xdF(x)
−∞
1 1 2 1 3 2 3 1
' '
= x dx +1 ( − )+ 2 ( − )+ x dx.
0 4 4 4 4 4 2 4
Despu´es de algunos c´alculos se encuentra que la esperanza es 15/4. Observe
la forma mixta en la que esta integral es calculada: en las partes crecientes
se calcula como si fuera una distribuci´on continua, despu´es se a˜naden los
puntos de discontinuidad ponderados por el tama˜no del salto. !

Con frecuencia surge el problema de calcular esperanzas de funciones de
variables aleatorias, es decir, si X es una variable aleatoria y g : R → R
es una funci´on Borel medible, entonces g(X)es una variable aleatoria y el
problema es encontrar su esperanza. Usando directamente la definici´on, la
esperanza de g(X)se calcula del siguiente modo:

'
∞
E[g(X)] = xdF g(X) (x),
−∞
pero ello requiere encontrar primero la distribuci´on de g(X), lo cual puede
no ser f´acil en muchos casos. Afortunadamente se cuenta con el siguiente re-
sultado que establece una forma muy conveniente de calcular la esperanza de