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92 2.5. Caracter´ ısticas num´ ericas

Definici´ on. (Momentos). Sea X una variable aleatoria con esperanza
µ ysea n un n´umero natural. Cuando existe, el n´umero

n
1. E(X )es el n-´esimo momento de X.
n
2. E|X| es el n-´esimo momento absoluto de X.
n
3. E[(X − µ) ]es el n-´esimo momento central de X.
n
4. E|X − µ| es el n-´esimo momento central absoluto de X.
5. E[X(X −1) ··· (X −n+1)] es el n-´esimo momento factorial de X.

Observe que el primer momento es la esperanza, y el segundo momento
central es la varianza. En algunos textos al n-´esimo momento se le denota
por µ ,mientras que el n-´esimo momento central es µ n .En elcap´ıtulo
′
n
sobre funciones generadoras se estudian ciertas funciones asociadas a las
distribuciones de probabilidad, y a trav´es de las cuales losmomentos de
una variable aleatoria pueden ser encontrados, cuando existen, de manera
m´as eficiente.

El problema de los momentos consiste en determinar condiciones necesarias
ysuficientes para que los momentos de una variable aleatoria determinen de
manera ´unica su distribuci´on de probabilidad. Por ejemplo, puede demos-
2
trarse que si X es tal que los n´umeros E(X),E(X ),... son todos finitos y
si se cumple que la serie
" n
∞
t
n
E(X )
n!
n=0
es absolutamente convergente para alg´un t> 0, entonces la sucesi´on de mo-
mentos determina de manera ´unica a la distribuci´on de X.Las condiciones
mencionadas son suficientes pero no necesarias.