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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 89

Proposici´ on. (Propiedades de la esperanza). Sean X y Y con
esperanza finita, y sea c una constante. Entonces

1. E(c)= c.

2. E(cX)= cE(X).

3. Si X ≥ 0, entonces E(X) ≥ 0.

4. Si X ≤ Y ,entonces E(X) ≤ E(Y ).
5. E(X + Y )= E(X)+ E(Y ).

Las demostraciones de las primeras cuatro propiedades son sencillas pues
se siguen directamente de la definici´on. La ´ultima propiedad es f´acilmen-
te demostrable en el caso discreto. El caso general ser´a demostrado m´as
adelante.

Ejercicio. Sean X y Y discretas ambas con esperanza finita. Demuestre
directamente que E(X + Y )= E(X)+ E(Y ). !

Proposici´ on.Sea X con funci´on de distribuci´on F(x), la cual admite
la descomposici´on

d
c
F(x)= αF (x)+ (1 − α)F (x),
d
en donde α ∈ [0, 1], F (x)es una funci´on de distribuci´on discreta, y
c
F (x)es una funci´on de distribuci´on continua. Sea X d con distribuci´on
d
c
F (x), y sea X c con distribuci´on F (x). Entonces X tiene esperanza
finita si, y s´olo si, tanto X d como X c tienen esperanza finita, y en tal
caso,
E(X)= αE(X d )+ (1 − α)E(X c ).