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88 2.5. Caracter´ ısticas num´ ericas

g(X), sin conocer su distribuci´on, pero suponiendo conocida ladistribuci´on
de X.

Teorema. (Esperanza de una funci´ on de una v.a.) Sea X con
funci´on de distribuci´on F X (x), y sea g : R → R una funci´on Borel
medible tal que g(X)tiene esperanza finita. Entonces

'
∞
E[g(X)] = g(x) dF X (x).
−∞

La demostraci´on de este resultado en general no es sencilla yla omitiremos,
aunque un camino c´omodo que puede adoptarse es aceptar la f´ormula an-
terior como la definici´on de la esperanza de g(X). En particular, cuando la
funci´on g es la identidad, se recupera la definici´on b´asica de esperanza. Por
otro lado, cuando X es discreta, la demostraci´on del teorema resulta no ser
complicada.

Ejercicio. Sea X una variable aleatoria discreta con valores en el conjunto
{x 1 ,x 2 ,...},y sea g : R → R una funci´on Borel medible tal que g(X)tiene
esperanza finita. Demuestre que

∞
"
E[g(X)] = g(x i )P(X = x i ).
i=1

!
Se establecen a continuaci´on algunas propiedades de la esperanza.