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90 2.5. Caracter´ ısticas num´ ericas

Este resultado es inmediato de demostrar usando la propiedadde linealidad
de la integral de Riemann-Stieltjes respecto de la funci´on integradora.

Varianza

La varianza de una variable aleatoria es una medida del grado de dispersi´on
de los diferentes valores tomados por la variable, su definici´on es la siguiente.

Definici´ on. (Varianza). La varianza de una variable aleatoria X,de-
notada por Var(X), se define como la siguiente esperanza, si ´esta existe,
2
Var(X)= E (X − E(X)) .

Cuando X es discreta con funci´on de probabilidad f(x)y esperanza finita
(
µ,la varianza de X,cuando existe, se calcula como sigue Var(X)= x (x−
2
µ) f(x). Si X es absolutamente continua con funci´on de densidad f(x)y
esperanza finita µ,entonces la varianza de X,cuando existe, es Var(X)=
3
∞ 2
(x − µ) f(x) dx.La varianza se denota regularmente por els´ımbolo
−∞
2
σ (sigma cuadrada). A la ra´ız cuadrada positiva de Var(X)se le llama
desviaci´on est´andar,y se le denota naturalmente por σ.Nuevamente hay
casos en los que la varianza no es finita, y en esa situaciones sedice que la
variable aleatoria no tiene varianza. Observe que para calcular la varianza
se necesita conocer primero la esperanza.

Ejercicio. Demuestre que la varianza de una variable aleatoria con la si-
guiente funci´on de densidad no existe.

& 3
2/x si x> 1,
f(x)=
0 otro caso.