Page 97 - cip2007

Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 85

Esperanza

La esperanza de una variable aleatoria es un n´umero que representa el pro-
medio ponderado de sus posibles valores, se calcula como se indica a conti-
nuaci´on.

Definici´ on. (Esperanza). Sea X con funci´on de distribuci´on F(x).
La esperanza de X,denotada por E(X), se define como el n´umero

'
∞
E(X)= xdF(x),
−∞
cuando esta integral sea absolutamente convergente, es decir, cuando
3
∞
|x| dF(x) < ∞,y en tal caso se dice que X es integrable, o que
−∞
tiene esperanza finita.
Ala esperanza se le conoce tambi´en con el nombre de media, valor esperado,
valor promedio o valor medio,y en generalse usa la letra griega µ (mu) para
denotarla. En la teor´ıa de la medida [5] [14] [29] se define la esperanza de una
variable aleatoria o funci´on medible X mediante una integral m´as general
llamada integral de Lebesgue,y se denota por
'
X(ω) dP(ω).
Ω
En algunas ocasiones usaremos esta expresi´on para tener compatibilidad en
notaci´on con la teor´ıa general.

Cuando X es discreta con funci´on de probabilidad f(x), su esperanza, si
(
existe, se calcula como sigue E(X)= x xf(x). Si X es absolutamente
continua con funci´on de densidad f(x), entonces su esperanza, si existe, es
3
E(X)= ∞ xf(x) dx.
−∞
Ejemplos.
a) Sea X con valores en el conjunto {1, 2,...},y con funci´on de proba-
x
bilidad f(x)= P(X = x)= 1/2 ,para x ≥ 1. Entonces E(X)=