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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 81

Ejercicio. Sean X y Y dos variables aleatorias. Demuestre que el conjunto
(X = Y )es un evento. En consecuencia tiene sentido calcular la probabili-
dad de tal conjunto. !

d
Ejercicio. Demuestre que si X = Y c.s., entonces X = Y .Por elcontrario,
d
demuestre que si X = Y ,entonces no necesariamente X = Y c.s. Considere
por ejemplo la variable X tal que P(X = −1) = P(X =1) =1/2, y defina
Y = −X. !

2.4. Integral de Riemann-Stieltjes

En esta secci´on se define la integral de Riemann-Stieltjes. Esta es una inte-
gral de la forma
b
'
h(x) dF(x),
a
en donde las funciones h(x)y F(x)deben cumplir ciertas condiciones pa-
ra que la integral tenga sentido y est´e bien definida. Esta integral es una
generalizaci´on de la integral usual de Riemann. Al integrando h(x)se le
pide inicialmente que sea una funci´on acotada en el intervalo (a, b], aun-
que despu´es se omitir´a esta condici´on. A la funci´on integradora F(x)se le
pide que sea continua por la derecha, mon´otona no decreciente y tal que
F(∞) − F(−∞) <M,para alg´un n´umero M> 0. Observe que F(x)debe
cumplir propiedades semejantes a las de una funci´on de distribuci´on, y de
hecho la notaci´on es la misma. Esto no es coincidencia pues usaremos las
funciones de distribuci´on como funciones integradoras.

Presentamos a continuaci´on la definici´on de la integral de Riemann-Stieltjes
bajo las condiciones arriba se˜naladas. En [15] puede encontrarse una expo-
sici´on m´as completa y rigurosa de esta integral. Sea {a = x 0 <x 1 < ··· <
x n = b} una partici´on finita del intervalo (a, b], y defina

h(x i )= sup {h(x): x i−1 <x ≤ x i },
y h(x i )= ´ınf {h(x): x i−1 <x ≤ x i }.