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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 79

F Y (y)

1

y
M
Figura 2.8: Funci´on de distribuci´on de la variable Y =m´ın{X, M}.

Proposici´ on.Toda funci´on de distribuci´on F(x)se puede escribir como
una combinaci´on lineal convexa de una funci´on de distribuci´on discreta
c
d
F (x)y otra continua F (x), es decir, admite la siguiente representaci´on
d
c
F(x)= αF (x)+ (1 − α)F (x),
en donde 0 ≤ α ≤ 1.

En todos los casos que consideraremos en este texto la distribuci´on continua
de esta descomposici´on ser´a absolutamente continua. En elcaso general, es-
ta distribuci´on continua puede a su vez escribirse como otracombinaci´on
lineal convexa entre una distribuci´on absolutamente continua y una distri-
buci´on continua singular. Esto lleva al resultado general de que cualquier
distribuci´on puede escribirse como una combinaci´on lineal convexa de los
tres tipos b´asicos de distribuciones.

Ejemplo.Considere nuevamente la funci´on de distribuci´on de la variable
Y =m´ın{X, M} analizada en el ejemplo anterior. Hemos visto que esta
distribuci´on no es discreta ni continua, sin embargo puede descomponerse
en la combinaci´on lineal convexa
c
d
F Y (y)= e −M F (y)+ (1 − e −M )F (y),
d
en donde F (y)es la distribuci´on discreta de la variable constante M,y