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84 2.5. Caracter´ ısticas num´ ericas

un caso particular de la integral de Riemann-Stieltjes. Cuando F(x)= x se
cumple

b b
' '
f) h(x) dF(x)= h(x) dx.
a a

En la siguiente secci´on usaremos las funciones de distribuci´on como fun-
ciones integradoras. Como toda funci´on de distribuci´on F(x)se puede des-
d
d
c
componer en una suma convexa αF (x)+ (1 − α)F (x), en donde F (x)es
c
discreta y F (x)es continua, entonces
b b b
' ' '
d
c
h(x) dF(x)= α h(x) dF (x)+ (1 − α) h(x) dF (x).
a a a
En algunos casos usaremos tambi´en la integral de Riemann-Stieltjes en va-
rias dimensiones. Por ejemplo, sean h(x, y)y F(x, y)funciones de dos va-
riables, sea {a = x 0 <x 1 < ··· <x n = b} una partici´on de (a, b]y sea
{c = y 0 <y 1 < ··· <y m = d} una partici´on de (c, d], entonces se define

b d
' ' n m
" "
h(x, y) dF(x, y)= l´ım h(x i ,y j ) ∆F(x i ,y j ),
a c n,m i=1 j=1
en donde ∆F(x i ,y j )es el “incremento” de F en el rect´angulo (x i−1 ,x i ] ×
(y j−1 ,y j ]. Por ahora no es clara la forma de definir este incremento pero
retomaremos este concepto una vez que se haya definido a la funci´on de
distribuci´on en dimensiones mayores.

2.5. Caracter´ısticas num´ericas

Se estudian a continuaci´on algunas caracter´ısticas num´ericas asociadas a
variables aleatorias. En particular, se definen los conceptos de esperanza,
varianza y m´as generalmente los momentos de una variable aleatoria. Para
ello haremos uso de la integral de Riemann-Stieltjes mencionada antes.