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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 83

La integral de Riemann-Stieltjes tiene varias propiedades semejantes a la
integral de Riemann, enunciaremos a continuaci´on algunas de ellas. Prime-
ramente es lineal tanto en el integrando como en el integrador, es decir, si
α es constante, entonces

b b b
' ' '
a) (αh 1 (x)+ h 2 (x)) dF(x)= α h 1 (x) dF(x)+ h 2 (x) dF(x).
a a a
b b b
' ' '
b) h(x) d(αF 1 (x)+ F 2 (x)) = α h(x) dF 1 (x)+ h(x) dF 2 (x).
a a a
Cuando h(x)tiene primera derivada continua se cumple la f´ormula

b b
' '
c) h(x) dF(x)= h(b)F(b) − h(a)F(a) − F(x)h (x) dx.
′
a a
De particular importancia en la teor´ıa de la probabilidad son los siguientes
dos casos particulares. Cuando F(x)es diferenciable se tiene la igualdad

b b
' '
′
d) h(x) dF(x)= h(x)F (x) dx.
a a
Es decir, integrar respecto de una funci´on de distribuci´onabsolutamente
continua se reduce a efectuar una integral de Riemann. El otrocasoin-
teresante ocurre cuando h(x)es continua y F(x)es constante excepto en
los puntos x 1 ,x 2 ,...,en donde la funci´on tiene saltos positivos de tama˜no
p(x 1 ),p(x 2 ),... respectivamente. En este caso y suponiendo convergencia,

b
' ∞
"
e) h(x) dF(x)= h(x i ) p(x i ).
a
i=1
Esto significa que integrar respecto de la funci´on de distribuci´on de una
variable aleatoria discreta se reduce a efectuar una suma. Finalmente enun-
ciamos la propiedad que ilustra el hecho de que la integral de Riemann es