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82 2.4. Integral de Riemann-Stieltjes

Se define la suma superior e inferior de Riemann-Stieltjes como sigue

n
"
¯
S n = h(x i )[ F(x i ) − F(x i−1 )],
i=1
n
"
y S n = h(x i )[ F(x i ) − F(x i−1 )].
i=1
Ahora se toma el l´ımite cuando n tiende a infinito de tal forma que la
longitud m´ax{|x i − x i−1 | :1 ≤ i ≤ n} tienda a cero. Si sucede que

−∞ < l´ım S =l´ım S n < ∞,
n
n→∞ n→∞
entonces a este valor com´un se le llama la integral de Riemann-Stieltjes de
la funci´on h(x)respecto de la funci´on F(x)sobre el intervalo (a, b], y se le
denota por
b
'
h(x) dF(x),
a
Cuando la funci´on h(x)no es acotada se hace uso de la funci´on auxiliar

⎧
⎪ −N si h(x) < −N,
⎨
h N (x)= h(x) si |h(x)| ≤ N,
⎪
N si h(x) >N.
⎩
Yentonces se define

b b
' '
h(x) dF(x)= l´ım h N (x) dF(x),
a N→∞ a
cuando este l´ımite existe. Se puede extender la definici´on de esta integral
de la siguiente forma
' ' b
∞
h(x) dF(x)= l´ım h(x) dF(x),
a,b→∞ a
−∞
cuando el l´ımite del lado derecho exista y est´e bien definido.