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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 77

f(x)

' b
P(X ∈ (a, b)) = f(x) dx
a
x
a b

Figura 2.6: La probabilidad como el ´area bajo la funci´on de densidad.

Definici´ on. (Variable aleatoria singular). La variable aleatoria
continua X,o su correspondiente funci´on de distribuci´on F(x), se llama
singular si F (x)= 0 casi seguramente.
′

El t´ermino “casi seguramente” que aparece en esta definici´on se refiere a que
la igualdad se cumple en todos los puntos x excepto en un conjunto cuya
medida de Lebesgue es cero. Las distribuciones singulares son un poco m´as
delicadas de estudiar y no haremos mayor ´enfasis en ellas. La distribuci´on de
Cantor es un ejemplo de este tipo de distribuciones y se construye mediante
un proceso l´ımite. Los detalles pueden encontrarse en [13] o[19].

Definici´ on. (Variable aleatoria mixta). Una variable aleatoria que
no es discreta ni continua se llama variable aleatoria mixta.

No es dif´ıcil encontrar situaciones en donde la variable aleatoria en estudio
es mixta, el siguiente ejemplo es una muestra de ello.
Ejemplo (Una variable aleatoria que no es discreta ni conti-
nua). Sea X una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on

2
1 − e −x si x> 0,
F X (x)=
0 si x ≤ 0.