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72 2.2. Funci´ on de distribuci´ on

F(x)
1

x

Figura 2.4: Una funci´on de distribuci´on mixta.

Proposici´ on.Sea X una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on
F(x). Para cualesquiera n´umeros reales a< b,
1. P(X< a)= F(a−).

2. P(X = a)= F(a) − F(a−).

3. P(a< X ≤ b)= F(b) − F(a).

4. P(a ≤ X ≤ b)= F(b) − F(a−).

5. P(a< X < b)= F(b−) − F(a).
6. P(a ≤ X< b)= F(b−) − F(a−).

Demostraci´on.
1. Sea x 1 ,x 2 ,... una sucesi´on de n´umeros reales positivos y decreciente
acero. Sea A n el evento (X ≤ a − x n ). Entonces {A n : n ∈ N} es una
sucesi´on de eventos decreciente al evento (X< a). Por la propiedad
de continuidad

P(X< a)= l´ım P(A n )= l´ım F(a − x n )= F(a−).
n→∞ n→∞