Page 80 - cip2007

68 2.2. Funci´ on de distribuci´ on

2.2. Funci´on de distribuci´on

Toda variable aleatoria tiene asociada una funci´on llamadafunci´on de dis-
tribuci´on. En esta secci´on se define esta importante funci´on y se demuestran
algunas de sus propiedades.

Definici´ on. (Funci´ on de distribuci´ on). La funci´on de distribuci´on
de una variable aleatoria X es la funci´on F(x): R → [0, 1], definida
como sigue
F(x)= P(X ≤ x).

Cuando sea necesario especificar la variable aleatoria en cuesti´on se escribe
F X (x), pero en general se omite el sub´ındice X cuando no haya posibilidad
de confusi´on. El argumento de la funci´on es la letra min´uscula x que puede
tomar cualquier valor real. Por razones obvias a esta funci´on se le conoce
tambi´en con el nombre de funci´on de acumulaci´on de probabilidad,o funci´on
de probabilidad acumulada.Observe que la funci´on de distribuci´on de una
variable aleatoria est´a definida sobre la totalidad del conjunto de n´umeros
reales, y siendo una probabilidad, toma valores en el intervalo [0, 1].

La funci´on de distribuci´on es importante pues, como se ilustrar´a m´as adelan-
te, contiene ella toda la informaci´on de la variable aleatoria y la correspon-
diente medida de probabilidad. Veremos a continuaci´on algunas propiedades
b´asicas de esta funci´on, en una de las cuales aparece la expresi´on F(x+),
que significa el l´ımite por la derecha de la funci´on F en el punto x.Apare-
cer´a tambi´en la expresi´on F(x−), que significa, de manera an´aloga, el l´ımite
por la izquierda de la funci´on F en el punto x.