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64 2.1. Variables aleatorias

cualquier n´umero real y> 0 tenemos que

1 1 1
( ≤ y)= ( ≤ y, Y > 0) ∪ ( ≤ y, Y < 0)
Y Y Y
1 1
=(Y ≥ ,Y > 0) ∪ (Y ≤ ,Y < 0)
y y
1
=(Y ≥ ) ∪ (Y< 0),
y
que es un elemento de F puesto que Y es variable aleatoria. Por otro lado,
si y< 0 tenemos que
1 1 1
( ≤ y)= ( ≤ y, Y > 0) ∪ ( ≤ y, Y < 0)
Y Y Y
1 1
=(Y ≤ ,Y > 0) ∪ (Y ≥ ,Y < 0)
y y
1
= ∅∪ (Y ≥ ,Y < 0)
y
1
=( ≤ Y< 0).
y
Nuevamente vemos que este conjunto es un elemento de F,puesto que Y
es v.a. Finalmente cuando y =0 obtenemos una vez mas un elemento de F
pues

1 1 1
( ≤ 0) = ( ≤ 0,Y > 0) ∪ ( ≤ 0,Y < 0)
Y Y Y
= ∅∪ (Y< 0)

=(Y< 0).

Proposici´ on.Si X y Y son variables aleatorias, entonces m´ax{X, Y }
ym´ın{X, Y } tambi´en lo son.