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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 59

X −1

X −1 B B
Ω R

Figura 2.2: La imagen inversa de un conjunto de Borel.

Se le conoce tambi´en con el nombre de distribuci´on o ley de probabilidad de
X.A menudo se le denota por L(X). De este modo se construye el espacio
de probabilidad (R, B(R),P X ).

Si B es un conjunto Boreliano, se usan los s´ımbolos X −1 B y(X ∈ B)
para denotar el conjunto {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}.Por ejemplo, el conjunto
{ω ∈ Ω : X(ω) ∈ [0, ∞)} puede ser denotado por X −1 [0, ∞)o (X ∈ [0, ∞)),
osimplemente por (X ≥ 0), incluyendo los par´entesis. Veamos otro ejemplo,
si (a, b)es un intervalo de la recta real, se puede usar el s´ımbolo X −1 (a, b), o
(X ∈ (a, b)), o bien (a< X < b)para denotar el conjunto {ω ∈ Ω : X(ω) ∈
(a, b)}.Para hacer la escritura m´as corta,a menudo se omite el argumento
ω de una variable X yse omite tambi´en el t´ermino variable aleatoria para
X suponiendo, en la mayor´ıa de las veces, que lo es.

Para comprobar que una funci´on X : Ω → R es realmente una variable alea-
toria, la definici´on requiere verificar la condici´on X −1 B ∈ F para cualquier
conjunto Boreliano B.En muy pocos casos tal condici´on puede comprobarse
de manera tan directa. La siguiente proposici´on establece que no es necesa-
rio demostrar la condici´on de medibilidad para cualquier conjunto Boreliano
B,sino que es suficiente tomar intervalos de la forma (−∞,x], para cada x
en R.Este resultado, como uno puede imaginar,es de suma utilidady lo
usaremos con frecuencia en el resto del cap´ıtulo.