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58 2.1. Variables aleatorias

Definici´ on. (Variable aleatoria). Una variable aleatoria real es
una funci´on X : Ω → R tal que para cualquier conjunto Boreliano B,se
cumple que el conjunto X −1 B es un elemento de F.

X

ω X(ω)

Ω R

Figura 2.1: Una variable aleatoria es una funci´on medible de Ω en R.

Gr´aficamente una variable aleatoria puede representarse como se muestra
en la Figura 2.1. Esto es, una variable aleatoria (a veces se escribe simple-
mente v.a.) es una funci´on de Ω en R tal que la imagen inversa de cualquier
conjunto Boreliano es un elemento de la σ-´algebra del espacio de probabi-
lidad. Esta condici´on se conoce como medibilidad en teor´ıa de la medida, y
se dice entonces que dicha funci´on es medible respecto de las σ-´algebras F
y B(R). En un ap´endice al final del texto aparece una secci´on que contiene
una discusi´on breve del concepto de imagen inversa de una funci´on, que
para el caso de variables aleatorias puede ilustrarse gr´aficamente como se
indica en la Figura 2.2.

Explicamos a continuaci´on la raz´on t´ecnica por la cual se le pide a una fun-
ci´on X : Ω → R que cumpla la condici´on de medibilidad. Recordemos que P
es una medida de probabilidad definida sobre el espacio medible (Ω, F). Si
X es una variable aleatoria, entonces podemos trasladar la medida de pro-
babilidad P al espacio medible (R, B(R)) del siguiente modo: Si B es un
conjunto Boreliano definimos P X (B)= P(X −1 B), lo cual es posible pues
el conjunto X −1 B es un elemento de F,dominio de definici´on de P.La
funci´on P X : B(R) → [0, 1] resulta ser una medida de probabilidad, y se le
llama por tanto la medida de probabilidad inducida por la variable aleatoria.