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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 61

Por ejemplo, X es variable aleatoria si para cada x en R,(X< x) ∈ F,
o(X> x) ∈ F,o (X ≥ x) ∈ F.Cualquiera de estas condiciones es
necesaria y suficiente para que X sea variable aleatoria. Tambi´en es equi-
valente la condici´on (a< X < b) ∈ F,para cualquier intervalo (a, b)de
R.La demostraci´on de todas estas aseveraciones es completamente an´aloga
al caso demostrado arriba y se pide desarrollar los detalles en la secci´on de
ejercicios.

Considere ahora los espacios medibles (Ω, F)y (R, B(R)). Si X es una
funci´on de Ω en R,entonces se denota por σ(X)a la m´ınima σ-´algebra de
subconjuntos de Ω respecto de la cual X es variable aleatoria.

Definici´ on. σ(X)= { X −1 B : B ∈ B(R) }.

Es sencillo probar que tal colecci´on de im´agenes inversas es efectivamente
una σ-´algebra, y claramente X es variable aleatoria si, y s´olo si, σ(X) ⊆ F.
En particular, se dice que una funci´on g : R → R es Borel medible si
g −1 B ∈ B(R), para cada B en B(R).

Ejercicio. Diga falso o verdadero. Demuestre en cada caso.
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a) σ(X)= σ(X ). b) σ(X)= σ(−X). c) σ(X)= σ(2X). !
A continuaci´on se demuestra que algunas operaciones b´asicas entre varia-
bles aleatorias producen nuevas variables aleatorias. Suponga entonces que
(Ω, F,P)es un espacio de probabilidad dado. Todas las variables aleatorias
que se consideran a continuaci´on est´an definidas sobre estemismo espacio
de probabilidad.

Proposici´ on.La funci´on constante X = c es una variable aleatoria.

Demostraci´on. Sea B un elemento cualquiera de B(R). Para la funci´on
constante X = c se tiene que X −1 B = Ω si c ∈ B,y X −1 B = ∅ si c/∈ B.
En ambos casos el conjunto X −1 B es un elemento de F,por lo tanto X es