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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 65

Demostraci´on. Para cualquier n´umero real x,

(m´ax{X, Y } ≤ x)= (X ≤ x, Y ≤ x)= (X ≤ x) ∩ (Y ≤ x).

An´alogamente,

(m´ın{X, Y } ≥ x)= (X ≥ x, Y ≥ x)= (X ≥ x) ∩ (Y ≥ x).

Como consecuencia se obtiene que tanto X + =m´ax{0,X} como X − =
− m´ın{0,X} son variables aleatorias.

Proposici´ on.Si X es variable aleatoria, entonces |X| es variable alea-
toria.

Demostraci´on. Si x ≥ 0, entonces (|X| ≤ x)= (−x ≤ X ≤ x), y si x<
0, entonces (|X| ≤ x)= ∅∈ F,de modo que |X| es variable aleatoria.
Alternativamente se puede escribir |X| = X + + X ,y por lo expuesto
−
anteriormente obtener la misma conclusi´on.

Se muestra a continuaci´on que en general el rec´ıproco de la proposici´on
anterior es falso, esto es, si X : Ω → R es una funci´on tal que |X| es
variable aleatoria, entonces no necesariamente X es variable aleatoria.

Ejemplo.Considere el espacio muestral Ω = {−1, 0, 1} junto con la σ-
´algebra F = {∅, {0}, {−1, 1}, Ω}.Sea X : Ω → R la funci´on identidad
X(ω)= ω.Entonces |X| es variable aleatoria pues para cualquier conjunto
Boreliano B,

⎧
Ω si 0, 1 ∈ B,
⎪
⎪
⎪
⎨ {−1, 1} si 0 /∈ B y1 ∈ B,
−1
|X| B =
si 0 ∈ B y1 /∈ B,
⎪ {0}
⎪
⎪
⎩
∅ si 0, 1 /∈ B.