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70 2.2. Funci´ on de distribuci´ on

3. Para x 1 ≤ x 2 ,
F(x 1 ) ≤ F(x 1 )+ P(x 1 <X ≤ x 2 )
= P[(X ≤ x 1 ) ∪ (x 1 <X ≤ x 2 )]
= P(X ≤ x 2 )

= F(x 2 ).

4. Sea x 1 ,x 2 ,... una sucesi´on cualquiera de n´umeros reales no negativos
ydecreciente a cero. Entonces

F(x + x n )= F(x)+ P(x< X ≤ x + x n ),
en donde A n =(x< X ≤ x + x n )es una sucesi´on de eventos decre-
ciente al conjunto vac´ıo. Por lo tanto l´ım F(x+x n )= F(x). Es decir
n→∞
F(x+) = F(x).

Se tiene adem´as la siguiente definici´on general de funci´onde distribuci´on,
no haciendo referencia a variables aleatorias ni a espacios de probabilidad
particulares.

Definici´ on. (Funci´ on de distribuci´ on). Una funci´on F(x): R →
[0, 1] es llamada funci´on de distribuci´on si cumple las cuatro propiedades
anteriores.

Una especie de rec´ıproco de la ´ultima proposici´on es v´alido y ello justifica
la importancia de la funci´on de distribuci´on. Se enuncia a continuaci´on este
interesante resultado cuya demostraci´on omitiremos y puede encontrarse
por ejemplo en [15].

Proposici´ on.Sea F(x): R → [0, 1] una funci´on de distribuci´on. Enton-
ces existe un espacio de probabilidad (Ω, F,P)y una variable aleatoria
X cuya funci´on de distribuci´on es F(x).