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Cap´ ıtulo 2. Variables aleatorias 69

Proposici´ on.Sea F(x)la funci´on de distribuci´on de una variable alea-
toria. Entonces

1. l´ım F(x)= 1.
x→+∞
2. l´ım F(x)= 0.
x→−∞
3. Si x 1 ≤ x 2 ,entonces F(x 1 ) ≤ F(x 2 ).

4. F(x)es continua por la derecha, es decir, F(x+) = F(x).

Demostraci´on.

1. Sea x 1 ,x 2 ,... una sucesi´on cualquiera de n´umeros reales creciente a
infinito, y sean los eventos A n =(X ≤ x n ). Entonces {A n : n ∈ N} es
una sucesi´on de eventos creciente cuyo l´ımite es Ω.Por la propiedad
de continuidad

l´ım F(x n )= l´ım P(A n )= P(Ω)= 1.
n→∞ n→∞
Dado que R es un espacio m´etrico, lo anterior implica que F(x)con-
verge a uno cuando x tiende a infinito.

2. Sea ahora {x n : n ∈ N} una sucesi´on cualquiera de n´umeros reales
decreciente a menos infinito, y sean los eventos A n =(X ≤ x n ).
Entonces {A n : n ∈ N} es una sucesi´on de eventos decreciente al
conjunto vac´ıo. Nuevamente por la propiedad de continuidad

l´ım F(x n )= l´ım P(A n )= P(∅)= 0.
n→∞ n→∞
Por lo tanto, F(x)converge a cero cuando x tiende a menos infinito.