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66 2.1. Variables aleatorias

−1
Es decir, |X| B es un elemento de F.Sin embargo X no es variable alea-
toria pues el conjunto X −1 {−1} = {−1} no es un elemento de F. !

Ahora consideraremos algunas operaciones l´ımite en sucesiones infinitas de
variables aleatorias. S´olo consideraremos variables aleatorias con valores fi-
nitos, de modo que impondremos condiciones sobre la finitud del resultado
al tomar tales operaciones l´ımite.

Proposici´ on.Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on infinita de variables aleato-
rias tales que para cada ω en Ω,los n´umeros

sup {X 1 (ω),X 2 (ω),...} e´ınf {X 1 (ω),X 2 (ω),...}
son finitos. Entonces las funciones sup {X n } e´ınf {X n } son variables
n≥0 n≥0
aleatorias.

Demostraci´on. Para cualquier n´umero real x,

∞
#
(sup X n ≤ x )= (X n ≤ x),
n≥0
n=1
∞
#
e ( ´ınf X n ≥ x )= (X n ≥ x).
n≥0
n=1

El siguiente resultado hace uso de las operaciones de l´ımitesuperior e inferior
para sucesiones num´ericas, el lector puede encontrar una revisi´on breve de
estas operaciones al final del texto.