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62 2.1. Variables aleatorias

variable aleatoria.

Proposici´ on.Si X es variable aleatoria y c es una constante, entonces
cX tambi´en es variable aleatoria.

Demostraci´on. Comprobaremos que para cada n´umero real x,la imagen
inversa del conjunto (−∞,x], bajo la funci´on cX,es un elemento de F.
Tenemos tres casos: Si c> 0, entonces el conjunto (cX ≤ x)= (X ≤ x/c)es
un elemento de F,pues X es v.a. Si c< 0, entonces nuevamente el conjunto
(cX ≤ x)= (X ≥ x/c)es un elemento de F pues X es v.a. Finalmente
si c =0, entonces es claro que cX es la constante cero que es v.a. por la
proposici´on anterior.

Proposici´ on.Si X y Y son v.a.s, entonces X +Y es variable aleatoria.

Demostraci´on. Probaremos que para cada n´umero real x,el conjunto (X +
Y> x)es un elemento de F.Para ello usaremos la igualdad
!
(X + Y> x)= (X> r) ∩ (Y> x − r). (2.1)
r∈Q

Es claro que a partir de esta igualdad se concluye que el conjunto (X +Y>
x)es un elemento de F,pues tanto X como Y son variables aleatorias,
yla operaci´on de uni´on involucrada es numerable. Resta entonces demos-
trar (2.1).

(⊆)Sea ω en Ω tal que X(ω)+ Y (ω) >x.Entonces X(ω) >x − Y (ω).
Como los n´umeros racionales son un conjunto denso en R,tenemos
que existe un n´umero racional r tal que X(ω) >r >x − Y (ω). Por
lo tanto X(ω) >r y Y (ω) >x − r.De aqui se desprende que ω es un
elemento del lado derecho.