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60 2.1. Variables aleatorias

Proposici´ on.Una funci´on X : Ω → R es una variable aleatoria si, y
s´olo si, para cada x en R se cumple que (X ≤ x) ∈ F.

Demostraci´on.
(⇒)Si X es variable aleatoria, entonces claramente se cumple que para
cualquier n´umero real x el conjunto (X ≤ x)es un elemento de F.
(⇐)Ahora suponga que para cada real x,elconjunto (X ≤ x)es un
elemento de F.Sean B y C las colecciones

B = {B ∈ B(R): X −1 B ∈ F},
y C = {(−∞,x]: x ∈ R}.

Entonces claramente C ⊆ B ⊆ B(R). La primera contenci´on es por
hip´otesis, y la segunda es por definici´on de la colecci´on B.Suponga por
un momento que B es una σ-´algebra de subconjuntos de R.Entonces
B es una σ-´algebra que contiene a C .Por lo tanto σ(C )= B(R) ⊆ B.
Esto implica que B = B(R), y entonces X es variable aleatoria. Resta
entonces hacer ver que B es efectivamente una σ-´algebra.

a) Primeramente tenemos que R ∈ B,pues R ∈ B(R)y X −1 R =
Ω ∈ F.
b) Sea B ∈ B.Entonces B ∈ B(R)y X −1 B ∈ F.Por lo tanto
c
c
c
c
B ∈ B(R)y X −1 B =(X −1 B) ∈ F.Es decir, B ∈ B.
c) Sea B 1 ,B 2 ,... una sucesi´on en B.Es decir, para cada n´umero
natural n, B n ∈ B(R)y X −1 B n ∈ F.Entonces $ ∞ B n ∈
n=1
$ $ $
B(R)y ∞ X −1 B n = X −1 ∞ B n ∈ F.Es decir, ∞ B n ∈
n=1
n=1
n=1
B.

Adem´as de la condici´on anterior para demostrar que una funci´on es va-
riable aleatoria, existen otras condiciones igualmente equivalentes y ´utiles.