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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 55

86. Sean A 1 ,... ,A n independientes. Demuestre que

n n
! -
P( A k )= 1 − [1 − P(A k )].
k=1 k=1

87. Sea A 1 ,A 2 ,... una sucesi´on infinita de eventos. Defina

∞ ∞
! #
B n = A k y C n = A k .
k=n k=n
Demuestre que si B n y C n son independientes para cada n,entonces
los eventos l´ımite superior y l´ımite inferior de la sucesi´on A n tambi´en
son independientes. En particular, cuando la sucesi´on A n converge al
evento A,entonces A tiene probabilidad cero o uno.

88. Sean A y B independientes. Demuestre que σ{A} y σ{B} son inde-
pendientes.

Lema de Borel-Cantelli

89. Se lanza un dado equilibrado una infinidad de veces. Demuestre que
con probabilidad uno cada una de las seis caras aparece una infinidad
de veces.

90. Sea A un evento con probabilidad positiva. Use el lema de Borel-
Cantelli para demostrar que si se efect´ua una infinidad de ensayos
independientes del experimento aleatorio, la probabilidadde que ocu-
rra una infinidad de veces el evento A,es uno.