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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 53

d) P(A ∪ B) ≤ P(A)+ P(B).
e) P(A | B) ≤ P(A).
f ) P(A | B) ≥ P(A) ⇒ P(B | A) ≥ P(B).

73. Se lanza una moneda tantas veces como indica un dado previamente
lanzado. Tanto la moneda como el dado estan equilibrados. Calcule la
probabilidad de que:

a)se obtengan ambas caras de la moneda igual n´umero de veces.
b)se obtenga una misma cara siempre.

74. En una primera caja se encuentran dos canicas blancas y tres negras,
en una segunda caja hay tres blancas y cinco negras, y en una tercera
caja hay dos blancas y una negra. De la primera caja se extrae al
azar una canica y se deposita en la segunda caja, despu´es se extrae
nuevamente al azar una canica de la segunda caja y se deposita en la
tercera caja. Despu´es de este proceso se obtiene al azar una canica de
la tercera caja, encuentre la probabilidad de que ´esta sea blanca.
75. Un dado equilibrado se lanza tres veces consecutivas, y resulta que la
suma de los tres n´umeros obtenidos es 11. Encuentre la probabilidad
de que en el primer lanzamiento se haya obtenido un 5.
76. Una primera caja contiene tres canicas blancas y dos negras. Una
segunda caja contiene dos canicas blancas y cuatro negras. Seescoge
´
una caja al azar y se extrae un canica. Unicamente se conoce que la
canica obtenida es blanca, encuentre la probabilidad de que ´esta haya
sido obtenida de la primera caja.

77. Regla del producto. Demuestre que
P(A 1 ∩···∩A n )= P(A 1 )P(A 2 |A 1 )P(A 3 |A 1 ∩A 2 ) ··· P(A n |A 1 ∩···∩A n−1 ).

78. Desigualdad de Bonferroni. Demuestre que
n n
! " "
P( A i ) ≥ P(A i ) − P(A i ∩ A j ).
i=1 i=1 i<j