Page 66 - cip2007

54 1.6. Ejercicios

79. Desigualdad de Kounias. Demuestre que

n n n
! " "
P( A i ) ≤ m´ın { P(A i ) − P(A i ∩ A j ) }.
j
i=1 i=1 i=1
i̸=j

Continuidad

80. Se lanza una moneda honesta una infinidad de veces. Demuestre que la
probabilidad de que eventualmente cada una de las dos caras aparezca
es uno.

81. Se lanza un dado equilibrado una infinidad de veces. Demuestre que la
probabilidad de que eventualmente cada una de las seis caras aparezca
es uno.

82. Sea A un evento con probabilidad estrictamente positiva. Demuestre
que si se efect´ua una infinidad de ensayos independientes delexperi-
mento aleatorio, la probabilidad de que nunca ocurra el evento A es
cero.

Independencia de eventos

83. Diga falso o verdadero. Demuestre o proporcione un contraejemplo.
c
a) A ⊥ A. b) A ⊥ A . c) A ⊥∅. d) A ⊥ Ω.
84. ¿Es la independencia de dos eventos una relaci´on de equivalencia?

85. Mediante un contraejemplo demuestre que si A y B son independien-
tes, entonces no necesariamente son ajenos. Demuestre tambi´en que
si A y B son ajenos, entonces tampoco se sigue necesariamente que
estos eventos sean independientes.