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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 49

49. Medida de probabilidad discreta. Sea {x n : n ∈ N} una suce-
si´on de n´umeros reales y sea {a n : n ∈ N} otra sucesi´on de n´umeros
(
reales no negativos tal que ∞ a n =1. Demuestre que la funci´on
n=1
P : B(R) → [0, 1] definida de la siguiente forma es una medida de
probabilidad.
∞
"
P(A)= a n 1 (n).
{n : x n∈A}
n=1
50. Sean P y Q dos medidas de probabilidad definidas sobre una misma σ-
´ algebra. Demuestre que αP +(1−α)Q es una medida de probabilidad
para cada α en [0, 1].

51. Sea P una medida de probabilidad. Determine si las siguientes fun-
ciones tambi´en son medidas de probabilidad:
2
a)1 − P. c) P . e)4P(1 − P).
√
b)(1 + P)/2. d) |P|. f) P.
52. Determine si las siguientes funciones son medidas de probabilidad.

a) P(Ω)= 1 y P(A)= 0 para cualquier otro evento A.
b) P(∅)= 0 y P(A)= 1 para cualquier otro evento A.

N
53. Considere el espacio medible (N, 2 ). Demuestre en cada caso que P
es una medida de probabilidad. Para cada A ∈ 2 N defina:
"
n
a) P(A)= 2/3 .
n∈A
"
n
b) P(A)= 1/2 .
n∈A
Ω
54. Sea Ω = {1,... ,n},y considere el espacio medible (Ω, 2 ). Investigue
en cada caso si P es una medida de probabilidad. Para cada A ∈ 2 Ω
defina:

" 2k
a) P(A)= .
n(n +1)
k∈A