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50 1.6. Ejercicios

1
-
b) P(A)= (1 − ).
k
k∈A
55. Considere el espacio medible ((0, 1), B(0, 1)). Demuestre en cada caso
que P es una medida de probabilidad. Para cada A ∈ B(0, 1) defina:

'
a) P(A)= 2xdx.
A
'
3√
b) P(A)= xdx.
A 2
56. Probabilidad condicional.Sea (Ω, F,P)un espacio de proba-
bilidad, y sea B un evento con probabilidad estrictamente positiva.
Demuestre que la probabilidad condicional definida para cada A en
F como sigue: P(A | B)= P(A ∩ B)/P(B), es una medida de proba-
bilidad. En consecuencia, toda propiedad v´alida para una medida de
probabilidad es tambi´en v´alida para la probabilidad condicional.

57. Sea P una medida de probabilidad, y sean P 1 ( · )= P( ·| B)y P 2 ( · )=
P 1 ( ·| C), en donde P(B) > 0y P(C) > 0. Demuestre que para cual-
quier evento A, P 2 (A)= P(A | B ∩ C).
c
58. Demuestre que P(A | B) ≥ 1 − P(A )/P(B), en donde P(B) > 0.
59. Sea P una medida de probabilidad definida sobre la σ-´algebra F.
Demuestre que la colecci´on {A ∈ F : P(A)= 0 ´o P(A)= 1} es una
sub σ-´algebra de F.

Propiedades elementales

60. Demuestre que P(∅)= 0, sin usar P(Ω)= 1.

c
c
61. Demuestre que P(A ∩ B) − P(A)P(B)= P(A )P(B) − P(A ∩ B).
62. Demuestre que

P(A∩B) ≤ m´ın{P(A),P(B)} ≤ P(A) ≤ m´ax{P(A),P(B)} ≤ P(A∪B).