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46 1.6. Ejercicios

b)l´ım inf A n es un evento.
n→∞
c)l´ım inf A n ⊆ l´ım sup A n .
n→∞
n→∞
36. Demuestre que el evento

a)l´ım sup A n coincide con el conjunto
n→∞
{ω ∈ A n para una infinidad de valores de n}.
b)l´ım inf A n coincide con el conjunto
n→∞
{ω ∈ A n para toda n excepto un n´umero finito de ellas}.

37. Suponga A n ⊆ B n para cada n en N.Demuestre o proporcione un
contraejemplo.
a)l´ım sup A n ⊆ l´ım sup B n .
n→∞ n→∞
b)l´ım inf A n ⊆ l´ım inf B n .
n→∞ n→∞
c)l´ım sup A n ⊆ l´ım inf B n .
n→∞ n→∞
38. Sea {A n : n ∈ N} una sucesi´on de eventos. Demuestre que

c
c
a)( l´ım inf A n ) =l´ım sup A .
n
n→∞ n→∞
c
c
b)( l´ım sup A n ) =l´ım inf A .
n
n→∞
n→∞
c
c) P(l´ım inf A n )= 1 − P(l´ım sup A ).
n
n→∞
n→∞
c
d) P(l´ım sup A n )= 1 − P(l´ım inf A ).
n
n→∞
n→∞
39. Sea {A n : n ∈ N} una sucesi´on de eventos. Demuestre que
c
c
a)l´ım A n = A ⇔ l´ım A = A .
n
n→∞ n→∞
=1 A .
b)l´ım A n = A ⇔ l´ım 1 A n
n→∞ n→∞
El s´ımbolo 1 A denota la funci´on indicadora del conjunto A.V´ease el
ap´endice al final del texto para la definici´on y algunas propiedades de
esta funci´on.