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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 43

7. Sean Ω 1 y Ω 2 dos conjuntos arbitrarios, y sea X : Ω 1 → Ω 2 una funci´on
en donde (Ω 2 , F 2 )es un espacio medible. Demuestre que la siguiente
colecci´on es una σ-´algebra de subconjuntos de Ω 1 :

X −1 F 2 = {X −1 F : F ∈ F 2 }.

8. ¿Es la diferencia de dos σ-´algebras una σ-´algebra? Demuestre o pro-
porcione un contraejemplo.

9. Sean F 1 y F 2 dos σ-´algebras de subconjuntos de Ω.Demuestre que
F 1 ∪ F 2 no necesariamente es una σ-´algebra. Para ello considere el
espacio Ω = {1, 2, 3} ylas σ-´algebras F 1 = {∅, {1}, {2, 3}, Ω} y F 2 =
{∅, {1, 2}, {3}, Ω}.

10. Sean F 1 y F 2 dos σ-´algebras de subconjuntos de Ω tales que F 1 ⊆ F 2 .
Demuestre que F 1 ∪ F 2 es una σ-´algebra.
11. Sea T un conjunto arbitrario distinto del vac´ıo. Suponga que paracada
t en T se tiene una σ-´algebra F t de subconjuntos de Ω.Demuestre
%
con detalle que t∈T F t es una σ-´algebra.
12. Sean A, B ⊆ Ω arbitrarios. Demuestre que la cardinalidad de σ{A, B}
es a lo sumo 16.

13. Sean A, B ⊆ Ω arbitrarios. Encuentre expl´ıcitamente todos los ele-
mentos de σ{A, B}.Por el ejercicio anterior,el totalde elementos en
σ{A, B} es, en el caso m´as general, 16.

14. Sea {A 1 ,... ,A n } una partici´on finita de Ω,es decir,la uni´on de todos
estos conjuntos es Ω,ninguno de ellos es vac´ıo y la intersecci´on de
cualesquiera dos de ellos es vac´ıa. Demuestre que la cardinalidad de
n
σ{A 1 ,... ,A n } es 2 .
15. Demuestre que toda σ-´algebra de un espacio muestral finito contiene
un n´umero par de elementos.

16. Sea {A, B, C} una partici´on de Ω.Encuentre expl´ıcitamente los ocho
elementos de σ{A, B, C}.