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42 1.6. Ejercicios

1.6. Ejercicios

σ-´algebras

1. Definici´ on alternativa de σ-´ algebra. Demuestre que F es una
σ-´algebra de subconjuntos de Ω si, y s´olo si, satisface las siguientes
propiedades:

a) ∅∈ F.
c
b) A ∈ F ⇒ A ∈ F.
% ∞
c)Si A 1 ,A 2 ,... ∈ F,entonces n=1 A n ∈ F.
2. Definici´ on alternativa de σ-´ algebra. Demuestre que F es una
σ-´algebra de subconjuntos de Ω si, y s´olo si, satisface las siguientes
propiedades:

a) Ω ∈ F.
b) A, B ∈ F ⇒ A − B ∈ F.
% ∞
c)Si A 1 ,A 2 ,... ∈ F,entonces n=1 A n ∈ F.
3. Sean A 1 ,... ,A n eventos de un espacio muestral Ω.Demuestre que el
conjunto de elementos de Ω que pertenecen a exactamente k de estos
eventos es un evento, 1 ≤ k ≤ n.

4. Sea F una σ-´algebra de subconjuntos de Ω.Demuestre que la colecci´on
c
F c = {F c : F ∈ F} es una σ-´algebra. Compruebe que F y F
coinciden.

5. Sea Ω = {a, b, c, d},y sean A = {a, b} y B = {b, c}.Defina la colecci´on
C = {A, B}.Claramente C no es una σ-´algebra. Encuentre σ(C ).

6. Sea F una σ-´algebra de subconjuntos de Ω ysea A un elemento de
F.Demuestre que la colecci´on {A ∩ F : F ∈ F} es una σ-´algebra de
subconjuntos de A.Se usan los s´ımbolos F A ´o A ∩ F para denotar a
esta colecci´on.