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Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 37

tas de Shakespeare. Segmentamos el arreglo lineal de caracteres generados
por el mono en bloques disjuntos de N caracteres, uno despu´es de otro, y
observamos si alg´un bloque contiene las obras de Shakespeare. Por ejemplo,

Xku ··· aTs hwW ··· pzq Ot ···
) *+ ,
) *+ ,
N N
Para cada n´umero natural k defina el evento A k correspondiente a que el k-
´esimo bloque contiene exactamente, y sin error alguno, las obras completas
de Shakespeare. Observe que los eventos A k son independientes pues los
c
bloques no se sobreponen, adem´as P(A k )= (1/m) N = p,o bien P(A )=
k
c
c
1 − p.Defina elevento B k como A ∩ ··· ∩ A ,que indica la situaci´on en
1
k
la que el mono no obtiene ´exito en los primeros k bloques. Observe que
B k+1 ⊆ B k ,es decir la sucesi´on es decreciente, por lo tanto
∞
#
l´ım B k = B k ,
k→∞
k=1
%
en donde el evento ∞ B k se interpreta como aquel en el que el mono nunca
k=1
tiene ´exito. Entonces, usando la propiedad de continuidad de las medidas
de probabilidad para sucesiones decrecientes, se tiene que
∞
#
k
P( B k )= l´ım P(B k )= l´ım (1 − p) =0.
k→∞ k→∞
k=1
Por lo tanto la probabilidad del evento complemento es uno, esdecir, la pro-
babilidad de que eventualmente el mono obtenga ´exito es uno.M´as adelante
se presentar´an otras formas de resolver este mismo problemausando el lema
de Borel-Cantelli, y despu´es usando la ley fuerte de los grandes n´umeros.
En [25] aparece una estimaci´on del tiempo promedio de espera para que el
mono obtenga el primer ´exito. !

1.5. Lema de Borel-Cantelli

Concluimos este cap´ıtulo con el enunciado y demostraci´on del famoso lema
de Borel-Cantelli. El objetivo es demostrar este resultado ycon ello poner