Page 47 - cip2007

Cap´ ıtulo 1. Espacios de probabilidad 35

Definici´ on. (Independencia de varios eventos). Los eventos
A 1 ,... ,A n son independientes si se cumplen todas y cada una de las
siguientes condiciones:

P(A i ∩ A j )= P(A i )P(A j ),i, j distintos. (1.1)
P(A i ∩ A j ∩ A k )= P(A i )P(A j )P(A k ),i, j, k distintos. (1.2)
. . .

P(A 1 ∩ ··· ∩ A n )= P(A 1 ) ··· P(A n ).

M´as generalmente, una colecci´on infinita de eventos es independiente si
cualquier subcolecci´on finita lo es.

Observe que de acuerdo a la definici´on anterior, se necesitanverificar o
suponer varias condiciones para que n eventos sean independientes entre s´ı.
n
De hecho el n´umero total de igualdades a demostrar es 2 − n − 1. ¿Puede
usted demostrar esta afirmaci´on? En la siguiente secci´on haremos uso del
siguiente resultado.

Ejercicio. Demuestre que los eventos A 1 ,... ,A n son independientes si, y
c
c
s´olo si, los eventos A ,... ,A lo son. !
1
n
Es posible adem´as demostrar que la independencia dos a dos, igualdad (1.1)
en la definici´on, no implica en general la independencia tresa tres, igual-
dad (1.2), ni viceversa.

Ejercicio. Se lanza una moneda equilibrada tres veces. Defina los eventos
A =“Se obtiene el mismo resultado en el 1er. y 2do. lanzamiento”.
B =“Se obtiene el mismo resultado en el 2do. y 3er. lanzamiento”.
C =“Se obtiene el mismo resultado en el 3er. y 1er. lanzamiento”.
Demuestre que los eventos A, B y C son independientes dos a dos, pero no
independientes en su conjunto. !

Ejercicio. Sean A y B eventos no independientes, y sea C = ∅.Demuestre
que A, B y C son independientes tres a tres pero no son independientes dos